Algèbre

L'algèbre est une branche des mathématiques qui utilise des nombres, des lettres et des signes pour faire référence aux différentes opérations arithmétiques qui sont effectuées. L'algèbre est actuellement utilisée comme ressource mathématique dans les relations, les structures et la quantité. L'algèbre élémentaire est la plus courante car c'est celle qui utilise des opérations arithmétiques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division car, contrairement à l'arithmétique, elle utilise des symboles tels que x et étant la plus courante au lieu d'utiliser des nombres.

Algèbre

Qu'est-ce que l'algèbre

C'est la branche qui appartient aux mathématiques, qui permet de développer et de résoudre des problèmes arithmétiques à travers des lettres, des symboles et des nombres, qui à leur tour symbolisent des objets, des sujets ou des groupes d'éléments. Cela vous permet de formuler des opérations qui contiennent des nombres inconnus, appelés inconnus et qui rendent possible le développement d'équations.

Grâce à l'algèbre, l'homme a pu rendre compte de manière abstraite et générique, mais aussi plus avancée, grâce à des calculs plus complexes, développés par des intellectuels mathématiques et physiques tels que Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) ou Carl Friedrich Gauss (1777-1855), grâce aux contributions desquels la définition de l'algèbre est connue comme elle est connue aujourd'hui.

Cependant, selon l'histoire de l'algèbre, Diophanthus d'Alexandrie (date de naissance et de décès inconnue, on pense qu'il a vécu entre le 3ème et le 4ème siècle), était vraiment le père de cette branche, puisqu'il a publié un ouvrage intitulé Arithmetica, qui il comprenait treize livres et dans lesquels il présentait des problèmes d'équations qui, bien qu'elles ne correspondent pas à un caractère théorique, étaient adéquates pour des solutions générales. Cela a aidé à définir ce qu'est l'algèbre, et parmi de nombreuses contributions qu'il a apportées, a été la mise en œuvre de symboles universels pour représenter une inconnue dans les variables du problème à résoudre.

L'origine du mot "algèbre" vient de l'arabe et signifie "restauration" ou "reconnaissance". De même, il a sa signification en latin, ce qui correspond à "réduction", et, bien qu'ils ne soient pas des termes identiques, ils signifient la même chose.

Comme outil supplémentaire pour étudier cette branche, vous pouvez compter sur la calculatrice algébrique, qui sont des calculatrices qui peuvent représenter graphiquement les fonctions algébriques. Permettant ainsi d'intégrer, de dériver, de simplifier des expressions et des fonctions graphiques, de créer des matrices, de résoudre des équations, entre autres fonctions, bien que cet outil soit plus adapté à un niveau supérieur.

Au sein de l'algèbre est le terme algébrique, qui est le produit d'un facteur numérique d'au moins une variable de lettre ; dans lequel chaque terme peut différencier son coefficient numérique, ses variables représentées par des lettres et le degré du terme en ajoutant les exposants des éléments littéraux. Cela signifie que pour le terme algébrique p5qr2, le coefficient sera 1, sa partie littérale sera p5qr2 et son degré sera 5 + 1 + 2 = 8.

Qu'est-ce qu'une expression algébrique

C'est une expression composée de constantes entières, de variables et d'opérations algébriques. Une expression algébrique est composée de signes ou de symboles et est composée d'autres éléments spécifiques.

En algèbre élémentaire, ainsi qu'en arithmétique, les opérations algébriques utilisées pour résoudre les problèmes sont: addition ou addition, soustraction ou soustraction, multiplication, division, autonomisation (multiplication de plusieurs facteurs fois) et le dépôt (opération inverse de potentialisation).

Les signes utilisés dans ces opérations sont les mêmes qu'en arithmétique pour l'addition (+) et la soustraction (-), mais pour la multiplication, l'équis (x) est remplacé par un point (.) Ou ils peuvent être représentés par des signes de regroupement ( exemple: cd et (c) (d) sont équivalents à l'élément «c» multiplié par l'élément «d» ou cxd) et dans la division algébrique deux points (:) sont utilisés .

Les signes de groupe sont également utilisés, tels que les parenthèses (), les crochets [], les accolades {} et les tirets horizontaux. Des signes de relation sont également utilisés, qui sont ceux qui sont utilisés pour indiquer qu'il existe une corrélation entre deux données et parmi les plus utilisées sont celles égales à (=), supérieures à (>) et inférieures à (<) .

En outre, ils sont caractérisés par l'utilisation de nombres réels (rationnels, qui incluent le positif, le négatif et le zéro; et irrationnels, qui sont ceux qui ne peuvent pas être représentés comme des fractions) ou complexes, qui font partie du réel, formant un corps algébriquement fermé. .

Ce sont les principales expressions algébriques

Algèbre

Il existe des expressions qui font partie du concept de l'algèbre, ces expressions sont classées en deux types: les monômes, qui sont ceux qui ont une seule somme; et les polynômes, qui ont deux (binômes), trois (trinômes) ou plus.

Quelques exemples de monômes seraient: 3x, π

Alors que certains polynômes peuvent être: 4 × 2 + 2x (binôme); 7ab + 3a3 (trinôme)

Il est important de mentionner que si la variable (dans ce cas "x") est au dénominateur ou à l'intérieur d'une racine, les expressions ne seraient ni monômes ni polynômes.

Qu'est-ce que l'algèbre linéaire

Ce domaine des mathématiques et de l'algèbre est celui qui étudie les concepts de vecteurs, matrices, systèmes d'équations linéaires, espaces vectoriels, transformations linéaires et matrices. Comme on peut le voir, l'algèbre linéaire a diverses applications.

Son utilité varie de l'étude de l'espace des fonctions, qui sont celles définies par un ensemble X (horizontal) à un ensemble Y (vertical) et appliquées à des espaces vectoriels ou topologiques ; les équations différentielles, qui relient une fonction (valeur qui dépend de la deuxième valeur) à ses dérivées (taux de variation instantané qui fait varier la valeur d'une fonction donnée); la recherche opérationnelle, qui utilise des méthodes analytiques avancées pour prendre de bonnes décisions; même l' ingénierie .

L'un des principaux axes de l'étude de l'algèbre linéaire se trouve dans les espaces vectoriels, qui sont constitués d'un ensemble de vecteurs (segments d'une droite) et d'un ensemble de scalaires (nombres réels, constants ou complexes, qui ont une magnitude mais pas la caractéristique du vecteur de direction).

Les principaux espaces vectoriels de dimension finie sont trois:

  • Vecteurs en Rn, qui représentent les coordonnées cartésiennes (axe horizontal X et axe vertical Y).
  • Les matrices, qui sont des systèmes rectangulaires d'expressions (représentées par des nombres ou des symboles), sont caractérisées par un certain nombre de lignes (généralement représentées par la lettre "m") et un certain nombre de colonnes (représentées par la lettre "n"), et Ils sont utilisés en science et en génie.
  • L' espace vectoriel des polynômes dans la même variable, donné par des polynômes qui ne dépassent pas le degré 2, ont des coefficients réels et se trouvent sur la variable "x".

Fonctions algébriques

Algèbre

Il fait référence à une fonction qui correspond à une expression algébrique, tout en satisfaisant également une équation polynomiale (ses coefficients peuvent être des monômes ou des polynômes). Ils sont classés comme: rationnels, irrationnels et de valeur absolue.

  • Les fonctions rationnelles entières sont celles exprimées en:, où "P" et "Q" représentent deux polynômes et "x" la variable, où "Q" est différent du polynôme nul et la variable "x" n'annule pas le dénominateur .
  • Les fonctions irrationnelles, dans lesquelles l'expression f (x) représente un radical, de cette manière:. Si la valeur de "n" est paire, le radical sera défini de telle sorte que g (x) soit supérieur et égal à 0, et le signe du résultat doit également être indiqué, car sans lui, il ne serait pas possible de parler d'une fonction, puisque Pour chaque valeur de "x", il y aurait deux résultats; tandis que si l'indice du radical est impair, ce dernier n'est pas nécessaire, car le résultat serait unique.
  • Fonctions de valeur absolue, où la valeur absolue d'un nombre réel sera sa valeur numérique en laissant son signe de côté. Par exemple, 5 sera la valeur absolue de 5 et -5.

Il existe des fonctions algébriques explicites, dans lesquelles votre variable "y" sera le résultat de la combinaison de la variable "x" un nombre limité de fois, en utilisant des opérations algébriques (par exemple, addition algébrique), qui incluent l'élévation aux puissances et à l'extraction des racines; cela se traduirait par y = f (x). Un exemple de ce type de fonction algébrique pourrait être le suivant: y = 3x + 2 ou ce qui serait le même: (x) = 3x + 2, puisque "y" est exprimé uniquement en termes de "x" .

D'autre part, il y a les implicites, qui sont celles dans lesquelles la variable «y» n'est pas seulement exprimée en fonction de la variable «x», donc y ≠ f (x) . Comme exemple de ce type de fonction, nous avons: y = 5x3y-2

Exemples de fonctions algébriques

Il existe au moins 30 types de fonctions algébriques, mais parmi les plus remarquables, nous avons les exemples suivants:

1. Fonction explicite: ƒ () = sin

2. Fonction implicite: yx = 9 × 3 + x-5

3. Fonction polynomiale:

a) Constante: ƒ () = 6

b) Premier degré ou linéaire: ƒ () = 3 + 4

c) Deuxième degré ou quadratique: ƒ () = 2 + 2 + 1 ou (+1) 2

d) Troisième degré ou cubique: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9

4. Fonction rationnelle: ƒ

5. Fonction potentielle: ƒ () = - 1

6. Fonction radicale: ƒ () =

7. Fonction de section: ƒ () = si 0 ≤ ≤ 5

Quelle est l'algèbre de Baldor

Algèbre

Quand on parle de ce qu'est l'algèbre de Baldor, cela se réfère à un travail développé par le mathématicien, professeur, écrivain et avocat Aurelio Baldor (1906-1978), qui a été publié en 1941. Dans la publication du professeur, qui Né à La Havane, Cuba, 5 790 exercices sont rapportés, soit une moyenne de 19 exercices par test.

Baldor a publié d'autres travaux, tels que "Plane and Space Geometry", "Baldor Trigonometry" et "Baldor Arithmetic", mais celui qui a eu le plus d'impact dans le domaine de cette branche est "Baldor's Algebra".

Ce matériel est cependant plus recommandé pour le niveau d'enseignement intermédiaire (comme le lycée), car pour les niveaux supérieurs (université), il ne servirait guère de complément à d'autres textes plus avancés et selon ce niveau.

La célèbre couverture dans laquelle apparaît le mathématicien, astronome et géographe musulman persan Al-Juarismi (780-846), a semé la confusion parmi les étudiants qui ont utilisé ce célèbre outil mathématique, car on pense que ce personnage est sur le point son auteur Baldor.

Le contenu de l'ouvrage est divisé en 39 chapitres et une annexe, qui contient des tableaux de calcul, un tableau des formes de décomposition des facteurs de base et des tableaux racine et puissance; et à la fin du texte se trouvent les réponses aux exercices.

Au début de chaque chapitre, il y a une illustration qui reflète une revue historique du concept qui sera développée et expliquée ci-dessous, et mentionne des personnalités historiques importantes dans le domaine, selon le contexte historique dans lequel se trouve la référence du concept. Ces personnages vont de Pythagore, Archimède, Platon, Diophantus, Hypatie et Euclide à René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck et Albert Einstein.

Qu'est-ce qui a causé la renommée de ce livre?

Son succès réside dans le fait qu'il est, en plus d'un célèbre ouvrage littéraire obligatoire dans les lycées d'Amérique latine, le livre le plus consulté et le plus complet sur le sujet, pour contenir une explication claire des concepts et de leurs équations algébriques, ainsi que des données historiques sur les aspects d'étudier, dans lequel le langage algébrique est manipulé.

Ce livre est l'initiation par excellence des étudiants du monde algébrique, même si pour certains il représente une source d'études inspirantes et pour d'autres il est à craindre, la vérité est qu'il s'agit d'une bibliographie obligatoire et idéale pour une meilleure compréhension des sujets traités. .

Qu'est-ce que l'algèbre booléenne

Le mathématicien anglais George Boole (1815-1864) a créé un ensemble de lois et de règles pour effectuer des opérations algébriques, au point qu'une partie de celui-ci a reçu son nom. Pour cette raison, le mathématicien et logicien anglais est considéré comme l'un des précurseurs de l'informatique.

Dans les problèmes logiques et philosophiques, les lois développées par Boole ont permis de les simplifier en deux états, qui sont le vrai ou le faux état, et ces conclusions ont été tirées de manière mathématique. Certains systèmes de contrôle mis en œuvre, tels que les contacteurs et les relais, utilisent des composants ouverts et fermés, le premier ouvert et le fermé non. Ceci est connu comme tout ou rien dans ce qui est l'algèbre booléenne.

Ces états ont une représentation numérique de 1 et 0, où 1 représente le vrai et 0 représente le faux, ce qui facilite leur étude. Selon tout cela, tout composant de tous types ou rien peut être représenté par une variable logique, ce qui signifie qu'il peut avoir la valeur 1 ou 0, ces représentations sont appelées code binaire.

L'algèbre booléenne permet de simplifier la logique ou les circuits de commutation logique au sein de l'électronique numérique; Vous pouvez également effectuer des calculs et des opérations logiques des circuits de manière plus rapide.

En algèbre booléenne, il existe trois procédures fondamentales qui sont: le produit logique, la porte ET ou la fonction d'intersection; la somme logique, la porte OU ou la fonction d'union; et la négation logique, PAS la fonction de porte ou de complément. Il existe également plusieurs fonctions auxiliaires: négation du produit logique, porte NAND; négation de la somme logique, porte NOR; somme logique exclusive, porte XOR; et négation de la somme logique exclusive, porte XNOR.

Au sein de l'algèbre booléenne, il existe un certain nombre de lois, parmi lesquelles:

  • Loi d'annulation . Également appelée loi d'annulation, elle indique que dans certains exercices après un processus, le terme indépendant sera annulé, de sorte que (AB) + A = A et (A + B) .A = A.
  • Loi sur l'identité . Ou d'identité des éléments 0 et 1, établit qu'une variable à laquelle l'élément nul ou 0 est ajouté, sera égale à la même variable A + 0 = A de la même manière que si la variable est multipliée par 1, le résultat sera le même A.1 = A.
  • Loi idempotente . Il établit qu'une action déterminée peut être effectuée plusieurs fois et obtenir le même résultat, de sorte que si vous avez une conjonction A + A = A et si vous avez un déplacement AA = A.
  • Droit commutatif . Cela fait référence au fait que l'ordre dans lequel les variables sont trouvées n'a pas d'importance, donc A + B = B + A.
  • Loi de double négation . Ou l'involution, indique que si une négation reçoit une autre négation, un résultat positif résultera, de sorte que (A ')' = A.
  • Théorème de Morgan . Ceux-ci disent que la somme d'une certaine quantité de variables niées en général, sera égale au produit de chaque variable niée indépendamment, alors (A + B) '= A'.B' et (AB) '= A' + B ' .
  • Loi distributive . Il établit que lorsque certaines variables sont rassemblées, qui seront multipliées par une autre variable externe, ce sera la même chose que de multiplier chaque variable groupée par la variable externe, comme: A (B + C) = AB + AC .
  • Loi d'absorption . Il dit que si une variable A implique une variable B, alors la variable A impliquera A et B, et A sera "absorbé" par B.
  • Droit associatif . Dans la disjonction ou lors du regroupement de plusieurs variables, le résultat sera le même quel que soit leur regroupement; de sorte que dans l'addition A + (B + C) = (A + B) + C (le premier élément plus l'association des deux derniers, il est égal à l'association des deux premiers plus le dernier).

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